Und JEDE Gigabit-Lan Karte unterstützt es soweit ich weis (war dachte ich sogar in der Spezifikation).
Wenn der 2. PC also modern mit Gigabit-Lan ist, so ist es vollkommen egal, welches Kabel du da verwendest (cross-over oder nicht). (Deine RTL8139 unterstützt kein Autonegotiation, deswegen muss es die 2.Karte machen oder eben Cross-Over/Switch).
Die RTL8139D ist hervorragend kompatibel, ich setze sie seit Jahren in meinen DOS-Rechner ein und die tut einfach immer

Wenn schon ein gelbes Ausrufezeichen im Gerätemanager bei der Karte steht, so würde ich mir erstmal die Ressourcen anschauen, denn je nach Board mag auch die Netzwerkkarte einen eigenen IRQ.
(Was du nach der Deinstallation des alten Treibers auch tun solltest: In den abgesicherten Modus starten und schauen, ob die Karte wirklich aus dem Gerätemanager verschwunden ist, ansonsten händisch löschen.)